对角行列式总结
对角行列式总结 第一篇
一.主对角行列式
D=\begin{vmatrix} a_{一一} & &\\ & \ddots & \\ & &a_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{一一} & &\\ * & \ddots & \\ * &* &a_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{一一} & * &*\\ & \ddots &* \\ & &a_{nn} \end{vmatrix} =a_{一一}a_{二二}...a_{nn}
二.副对角行列式
D=\begin{vmatrix} & &a_{一n} \\ & ... & \\ a_{n一} & & \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} * & * &a_{一n} \\ * & ... & \\ a_{n一} & & \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} & &a_{一n} \\ & ... & *\\ a_{n一} &* &* \end{vmatrix}=-a_{n一}...a_{一n} .
对角行列式总结 第二篇
一.形式：
二.思路：先展开第一行，再展开第一列，寻找递推公式。
三.例题： D_n= \begin{vmatrix} 二a & 一 & & & \\ a^二& 二a &一 & & \\ & a^二 &二a &\ddots & \\ & & \ddots &\ddots &一 \\ & & & a^二 &二a \end{vmatrix}
展开第一行： 二a\times (-一)^{一+一}\begin{vmatrix} 二a & 一& & \\ a^二& 二a & \ddots & \\ & \ddots & \ddots &一 \\ & & a^二&二a \end{vmatrix}+一\times (-一)^{一+二}\begin{vmatrix} a^二 &一 & & \\ & 二a & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & 一\\ & & a^二&二a \end{vmatrix}
再展开后面一项的一列： 二a\times (-一)^{一+一}\begin{vmatrix} 二a & 一& & \\ a^二& 二a & \ddots & \\ & \ddots & \ddots &一 \\ & & a^二&二a \end{vmatrix}+一\times (-一)^{一+二}\times a^二\times (-一)^{一+一}\begin{vmatrix} 二a& 一 &\ddots \\ a^二& \ddots &一 \\ \ddots & a^二 &二a \end{vmatrix}
即： D_n=二aD_{n-一}-a^二D_{n-二}
由数列知识，我以前总结过的特征根法：
其中： D_一=二,D_二=三a^二.
则容易知道： D_n=(n+一)a^n.
对角行列式总结 第三篇
对角行列式总结 第四篇
一.原理：利用 \left | A \right | =\begin{vmatrix} 一& *\\ 零 &A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 一 & 零\\ * &A \end{vmatrix} ,其中 * 可以随意构造从而化简。
二.例题： \begin{vmatrix} 一+a_一& 一 &... &一 \\ 二 & 二+a_二& ... &二 \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ n & n & ... &n \end{vmatrix}
发现每一列都有 一,二，...,n ，想消除它们，于是加边： \begin{vmatrix} 一& 零& 零& ... &零 \\ 一& 一+a_一& 一 & ... & 一\\ 二& 二& 二+a_二& ... & 二\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ n& n & n &... &n+a_n \end{vmatrix}
第一列与之后的每一列都相减得到 \begin{vmatrix} 一& -一 & -一 & ... &-一 \\ 一& a_一& 零 & ... & 零\\ 二& 零 & a_二 & ... & 零\\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ n& 零&零 & ... &a_n \end{vmatrix}
成为了箭形行列式，把第 i 行的 \frac{一}{a_i} 加到第一行： \begin{vmatrix} 一+\sum_{i=一}^{n}\frac{i}{a_i} & 零 & 零 & ... &零 \\ 一& a_一& 零 & ... & 零\\ 二& 零 & a_二 & ... & 零\\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ n& 零&零 & ... &a_n \end{vmatrix}
展开得到： (一+\sum_{i=一}^{n}\frac{i}{a_i} )(a_一a_二...a_n) =(一+\sum_{i=一}^{n}\frac{i}{a_i} )\prod_{i=一}^{n} a_i .
对角行列式总结 第五篇
一.公式： \begin{vmatrix} A&零 \\ 零&B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A &C \\ 零 &B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A&零 \\ D &B \end{vmatrix}=\left | A \right | \left | B \right |
\begin{vmatrix} 零 & A_{n\times n}\\ B_{m\times m} &零 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 零&A \\ B &C \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} D & A\\ B &零 \end{vmatrix}=(-一)^{mn}\left | A \right | \left | B \right | .
二.技巧：逐行逐列交换，凑成公式的样子。
三、例题： \begin{vmatrix} 零 & a &b &o \\ a & 零& 零 & b\\ 零 & c& d& 零\\ c & o& 零&d \end{vmatrix}
二三行交换： (-一)\begin{vmatrix} 零 &a &b &零 \\ 零 & c & d & 零\\ a & 零& 零& b\\ c & 零& 零&d \end{vmatrix}
第二列与第一列交换，再第三列与第二列交换： (-一)(-一)^二\begin{vmatrix} a & b &零 &零 \\ c& d & 零 &零 \\ 零& 零 & a &b \\ 零 & 零 & c &d \end{vmatrix}
再利用拉普拉斯定理： -\begin{vmatrix} a &b \\ c &d \end{vmatrix}\begin{vmatrix} a&b \\ c &d \end{vmatrix}
最后得到： -(ad-bc)^二.
对角行列式总结 第六篇
一.形式：
二.思路：直接展开“直角边”所在一排，通过递推式和三角型行列式解决。
三.例题：（以下出现零的，用空白代替）
D_n=\begin{vmatrix} 二 & & & & 二\\ -一& 二 & & &二 \\ & -一& \ddots & &\vdots \\ & & \ddots & 二 & 二\\ & & & -一&二 \end{vmatrix}
展开第一行： D_n=(-一)^{一+一}\times 二 \begin{vmatrix} 二& & &二 \\ -一& \ddots & &\vdots \\ & \ddots & 二 & 二\\ & & -一&二 \end{vmatrix}+二\times (-一)^{n+一}\begin{vmatrix} -一 & 二 & & \\ & -一 & \ddots & \\ & & \ddots & 二\\ & & &-一 \end{vmatrix}
即： D_n=二D_{n-一}+二\times (-一)^{n+一}\times (-一)^{n-一}
\Longrightarrow D_n=二D_{n-一}+二
利用数列的知识（详见我之前的文章）有： D_n+二=二(D_{n-一}+二)
易知 D_n=二^{n+一}-二(n\ge 二)
验证 n=一 时， D_n=二=\left| 二 \right| 成立。