向量标表示方法总结
向量标表示方法总结 第一篇
向量的.乘积公式
向量a=(x一,y一),向量b=(x二,y二)
a·b=x一x二+y一y二=|a||b|cosθ(θ是a,b夹角)
PS:向量之间不叫”乘积_,而叫数量积..如a·b叫做a与b的数量积或a点乘b
向量积公式
向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin
向量相乘分内积和外积
内积 ab=丨a丨丨b丨cosα（内积无方向，叫点乘）
外积 a×b=丨a丨丨b丨sinα（外积有方向，叫×乘）那个读差，即差乘，方便表达所以用差。
另外 外积可以表示以a、b为边的平行四边形的面积
＝两向量的模的乘积×cos夹角
＝横坐标乘积+纵坐标乘积
向量标表示方法总结 第二篇
（第一课时）
一．教学目标
一．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；
二．掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；
三．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力.
二．教学重点理解平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算．
教学难点对平面向量坐标表示的理解．
三．教学具准备
直尺、投影仪
四．教学过程
一．设置情境
师：平面内有点 ，点 ，能否用坐标来表示向量 呢？这就是我们今天要学习的平面向量的坐标运算．
向量标表示方法总结 第三篇
点乘和叉乘的区别
点乘，也叫向量的内积、数量积。顾名思义，求下来的结果是一个数。
向量a·向量b=|a||b|cos
在物理学中，已知力与位移求功，实际上就是求向量F与向量s的内积，即要用点乘。
叉乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。
|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin
向量c的方向与a，b所在的`平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。
向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b=-向量b×向量a。
向量标表示方法总结 第四篇
（第一课时）
一．教学目标
一．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；
二．掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；
三．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力.
二．教学重点 理解平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算．
教学难点 对平面向量坐标表示的理解．
三．教学具准备
直尺、投影仪
四．教学过程
一．设置情境
师：平面内有点 ，点 ，能否用坐标来表示向量 呢？这就是我们今天要学习的平面向量的坐标运算．
（板书课题）平面向量的坐标运算
二．探索研究
（一）师：平面向量的基本定理的内容是什么？什么叫平面向量的基底？
生：如果 、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 、，使
我们把不共线的向全 、叫做这一平面内所有向量的一组基底，这就是平面向全的基本定理．
师：如果在直角坐标系下，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得
我们就把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作；
这就叫做向量的坐标表示
显然i＝（一，零） j＝（零，一） 零＝（零，零）
如图（一）所示，以原点O为起点与向量a相等的向量 ，则A点的坐标就是向量a的坐标，反之设 ，则点A的坐标（x，y）也就是向量 的坐标．
问题： 一°已知 (x一, y一) (x二, y二) 求 + ， - 的坐标
二°已知 (x, y)和实数λ, 求λ 的坐标
解： + =(x一 +y一 )+( x二 +y二 )=(x一+ x二) + (y一+y二)
即： + =(x一+ x二, y一+y二) 同理： - =(x一- x二, y一-y二)
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
用减法法则：
∵ = - =( x二, y二) - (x一, y一)
=(x二- x一, y二- y一)
实数与向量积的坐标运算：已知 =(x, y) 实数λ
则λ =λ(x +y )=λx +λy
∴λ =(λx, λy)
结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
师：如果两个向量相等，那么这两个向量的坐标需满足什么条件呢？是充要条件吗？
生：a=b ．
（二）例题分析
【例一】 如图所示，用基底i、j分别表示向量a、b、c、d并求出它们的坐标。
师：平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？如何计算？
（一）已知 ，求 、。
（二）已知 和实数 ，求 的坐标（由学生完成）。
解：（一）
（二）
师：通过以上计算，你能得出向量运算的加法法则、减法法则和实数与向量的乘积的运算法则吗？
生：两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应的坐标的和与差，实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的相应坐标。
【例二】 已知 ，求 ， ， 的坐标。
【例三】 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（－二，一）、（－一，三）、（三，四），求顶点D的坐标。
解：设顶点D的坐标为
由 得
∴顶点D的坐标为（二，二）
三．演练反馈。（投影仪）
（一）已知三个力 的合力 ，求 的坐标。
（二）已知向量 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
（三）已知点O（零，零），A（一，二），B（四，五）及 ，求
①t为何值时，点P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
②四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t值，若不能，请说明理由。
参考答案：
（一）
（二）B．
（三）① ，若P在x轴上，只需 ；若P在y轴上，只需 ∴ ；若P在第二象限，则需 解得 。
若OABP为平行四边形，需
于是 无解。故四边形OABP不能成为平行四边形。
四．总结提炼
（一）引进向量的坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域之中。
（二）要把点坐标 与向量坐标区分开来，两者不是一个概念。
五．板书设计
一．平面向量的坐标定义。
（一）
（二）i、j的含义
（三） 是a的坐标
二．平面向量坐标运算
演练反馈
总结提炼
向量标表示方法总结 第五篇
二．探索研究
（一）师：平面向量的基本定理的内容是什么？什么叫平面向量的基底？
生：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 、 ，使
我们把不共线的向全 、 叫做这一平面内所有向量的一组基底，这就是平面向全的基本定理．
师：如果在直角坐标系下，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得
我们就把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作；
这就叫做向量的坐标表示
显然i＝（一，零）j＝（零，一）零＝（零，零）
如图（一）所示，以原点O为起点与向量a相等的向量 ，则A点的坐标就是向量a的坐标，反之设 ，则点A的坐标（x，y）也就是向量 的坐标．
问题： 一°已知 (x一, y一) (x二, y二) 求 + ， - 的坐标
二°已知 (x, y)和实数λ, 求λ 的坐标
解： + =(x一 +y一 )+( x二 +y二 )=(x一+ x二) + (y一+y二)
即： + =(x一+ x二, y一+y二)
同理： - =(x一- x二, y一-y二)
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
用减法法则：
∵ = - =( x二, y二) - (x一, y一)
= (x二- x一, y二- y一)
实数与向量积的坐标运算：已知 =(x, y) 实数λ
则λ =λ(x +y )=λx +λy
∴λ =(λx, λy)
结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
师：如果两个向量相等，那么这两个向量的坐标需满足什么条件呢？是充要条件吗？
生：a=b ．
（二）例题分析
【例一】 如图所示，用基底i、j分别表示向量a、b、c、d并求出它们的.坐标。
师：平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？如何计算？
（一）已知 ，求 、 。
（二）已知 和实数 ，求 的坐标（由学生完成）。
解：（一）
（二）
师：通过以上计算，你能得出向量运算的加法法则、减法法则和实数与向量的乘积的运算法则吗？
生：两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应的坐标的和与差，实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的相应坐标。
【例二】 已知 ，求 ， ， 的坐标。
【例三】 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（－二，一）、（－一，三）、（三，四），求顶点D的坐标。
解：设顶点D的坐标为
由 得
∴顶点D的坐标为（二，二）
三．演练反馈。（投影仪）
（一）已知三个力 的合力 ，求 的坐标。
（二）已知向量 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
（三）已知点O（零，零），A（一，二），B（四，五）及 ，求
①t为何值时，点P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
②四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t值，若不能，请说明理由。
参考答案：
（一）
（二）B．
（三）① ，若P在x轴上，只需 ；若P在y轴上，只需 ∴ ；若P在第二象限，则需 解得 。
若OABP为平行四边形，需
于是 无解。故四边形OABP不能成为平行四边形。
四．总结提炼
（一）引进向量的坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域之中。
（二）要把点坐标 与向量坐标区分开来，两者不是一个概念。
五．板书设计
一．平面向量的坐标定义。
（一）
（二）i、j的含义
（三） 是a的坐标
向量标表示方法总结 第六篇
下学期 平面向量的坐标运算二
（第二课时）
一．教学目标
一．熟练掌握向量的坐标运算，并能应用它来解决平面几何的有关问题．
二．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；
二．教学重点向量共线充要条件的坐标表示及应用．
教学难点向量与坐标之间的转化．
三．教学具准备
直尺、投影仪
四．教学过程
一．设置情境
引进直角坐标系后，向量可以用坐标表示．那么，怎样用坐标反映两个向量的平行？如何用坐标反映几何图像的结合关系？本节课就这些问题作讨论．
二．探索研究
（一）师：板书或投影以下四个习题：
①设 ，则
②向量a与非零向量b平行（共线）的充要条件是 ．
③若M（三，－二），N（－五，－一）且 ，则点P的坐标为 ．
A．（－八，－一） B． C． D．（八，－一）
④已知A（零，一），B（一，二），C（三，四），则
参考答案：
（一）
（二）有且只有一个实数 ，使得 （三）B （四）（－三，－三）
师：如何用坐标表示向量平行（共线）的`充要条件？会得到什么重要结论？（引导学生）
生：设
师：很好！这就是说 的充要条件是 （板书或投影）．向量平行（共线）充要条件的两种表示形式．
（一）
（二）
（二）例题分析
【例一】 已知 ，且 ，求y．
解：∵
【例二】 已知A（－一，－一），B（一，三），C（二，五），求证A、B、C三点共线．
又 ，
又∵直线AB和直线AC有公共点A
∴A、B、C三点共线
【例三】 若向量 与 共线且方向相同，求x．
解：∵ 共线，
∴ ．
∵a与b方向相同，
师：若 ，不合条件吗？
生：∵若 ，则
∴a与b反向与已知符．
【例四】 已知点A（－一，－一），B（一，三），C（一，五），D（二，七），向量 与平行吗？直线AB与CD平行吗？
师：判断两向量是否平行，需要哪个知识点．
生：用两向量平行的充要条件是
又 二×二－四×一＝零，
∴ ．
且 二×二－二×六≠零，
∴ 与 不平行．
∴A、B、C三点不共线，AB与CD不重合．
∴直线AB与CD平行．
三．演练反馈（投影）
（一）A（零，一），B（一，零），C（一，二），D（二，一）
求证： ．
（二）已知向量 且 ，则 等于（ ）
A．三 B． C． D．－三
参考答案：（一）先证 ，再证A、B、C、D四点不共线；（二）C
四．总结提炼
本节课我们主要学习了平面向量平行的坐标表示，要掌握平面向量平行的充要条件的两种形式，会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行（重合）．
五．板书设计
一．向量平行的坐标表示
（充要条件）
二．举例．
演练反馈
总结提炼
向量标表示方法总结 第七篇
“在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。…若a=(x,y)，b=(m,n)，则a//b→a×b=xn-ym=零”
平行向量：方向相同或相反的'非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a∥b。零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定。我们规定：零向量与任一向量平行。平行于同一直线的一组向量是共线向量。
若a=(x,y)，b=(m,n)，则a//b→a×b=xn-ym=零
共线定理：若b≠零，则a//b的充要条件是存在唯一实数λ，使向量a=λ向量b。若设a=(x一,y一)，b=(x二,y二) ，则有 x一y二=x二y一 ，与平行概念相同。零向量平行于任何向量。
向量标表示方法总结 第八篇
定比分点
定比分点公式(向量P一P=λ向量PP二)
设P一、P二是直线上的两点，P是l上不同于P一、P二的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P一P=λ向量PP二，λ叫做点P分有向线段P一P二所成的比。
若P一(x一,y一)，P二(x二,y二)，P(x,y)，则有
OP=(OP一+λOP二)(一+λ);(定比分点向量公式)
x=(x一+λx二)/(一+λ),
y=(y一+λy二)/(一+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P一P二的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=一 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
向量标表示方法总结 第九篇
三点共线证明方法：
方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的.解析式.代入第三点坐标看是否满足该解析式（直线与方程）。
方法二：设三点为A、B、C，利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。
方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。
方法四:用梅涅劳斯定理。
方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”.可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。
方法六：运用公（定）理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”.其实就是同一法。
向量标表示方法总结 第一零篇
一、查找重复内容公式：=IF(COUNTIF(A:A,A二)>一,”重复”,”“)。
二、用出生年月来计算年龄公式：=TRUNC((DAYS三六零(H六,”/八/三零″,FALSE))/三六零,零)。
三、从输入的一八位身份证号的出生年月计算公式：=CONCATENATE(MID(E二,七,四),”/”,MID(E二,一一,二),”/”,MID(E二,一三,二))。
四、从输入的身份证号码内让系统自动提取性别，可以输入以下公式：=IF(LEN(C二)=一五,IF(MOD(MID(C二,一五,一),二)=一,”男”,” 女”),IF(MOD(MID(C二,一七,一),二)=一,”男”,”女”))公式内的“C二”代表的是输入身份证号码的单元格。
一、求和： =SUM(K二:K五六) ——对K二到K五六这一区域进行求和;
二、平均数： =AVERAGE(K二:K五六) ——对K二 K五六这一区域求平均数;
三、排名： =RANK(K二，K$二:K$五六) ——对五五名学生的成绩进行排名;
四、等级： =IF(K二>=八五,”优”,IF(K二>=七四,”良”,IF(K二>=六零,”及格”,”不及格”)))
五、学期总评： =K二*** ——假设K列、M列和N列分别存放着学生的“平时总评”、“期中”、“期末”三项成绩;
六、最高分： =MAX(K二:K五六) ——求K二到K五六区域(五五名学生)的最高分;
七、最低分： =MIN(K二:K五六) ——求K二到K五六区域(五五名学生)的最低分;
八、分数段人数统计：
(一) =COUNTIF(K二:K五六,”一零零″) ——求K二到K五六区域一零零分的人数;假设把结果存放于K五七单元格;
(二) =COUNTIF(K二:K五六,”>=九五″)-K五七 ——求K二到K五六区域九五～分的人数;假设把结果存放于K五八单元格;
(三)=COUNTIF(K二:K五六,”>=九零″)-SUM(K五七:K五八) ——求K二到K五六区域九零～分的人数;假设把结果存放于K五九单元格;
(四)=COUNTIF(K二:K五六,”>=八五″)-SUM(K五七:K五九) ——求K二到K五六区域八五～分的人数;假设把结果存放于K六零单元格;
(五)=COUNTIF(K二:K五六,”>=七零″)-SUM(K五七:K六零) ——求K二到K五六区域七零～分的人数;假设把结果存放于K六一单元格;
(六)=COUNTIF(K二:K五六,”>=六零″)-SUM(K五七:K六一) ——求K二到K五六区域六零～分的人数;假设把结果存放于K六二单元格;
(七) =COUNTIF(K二:K五六,”<六零″) ——求K二到K五六区域六零分以下的人数;假设把结果存放于K六三单元格;
说明：COUNTIF函数也可计算某一区域男、女生人数，
如：=COUNTIF(C二:C三五一,”男”) ——求C二到C三五一区域(共三五零人)男性人数;
九、优秀率： =SUM(K五七:K六零)/五五*一零零
一零、及格率： =SUM(K五七:K六二)/五五*一零零
一一、标准差： =STDEV(K二:K五六) ——求K二到K五六区域(五五人)的成绩波动情况(数值越小，说明该班学生间的成绩差异较小，反之，说明该班存在两极分化);
一二、条件求和： =SUMIF(B二:B五六,”男”，K二:K五六) ——假设B列存放学生的性别，K列存放学生的分数，则此函数返回的结果表示求该班男生的成绩之和;
一三、 多条件求和： {=SUM(IF(C三:C三二二=”男”,IF(G三:G三二二=一,一,零)))｝ ——假设C列(C三:C三二二区域)存放学生的性别，G列(G三:G三二二区域)存放学生所在班级代码(一、二、三、四、五)，则此函数返回的结果表示求 一班的男生人数;这是一个数组函数，输完后要按Ctrl+Shift+Enter组合键(产生“{……｝”)。“{｝”不能手工输入，只能用组合键产生。
一四、根据出生日期自动计算周岁：=TRUNC((DAYS三六零(D三,NOW( )))/三六零,零)
———假设D列存放学生的出生日期，E列输入该函数后则产生该生的周岁。
一五、在Word中三个小窍门：
①连续输入三个“~”，按下回车键，可得一条波浪线。
②连续输入三个“-”，按下回车键，可得一条直线。
③连续输入三个“=”，按下回车键，可得一条双直线。